Multivariate recurrence plots (2004)

Multivariate recurrence plots (2004)

Abstract

- multivariate timeseries data를 recurrence plots 으로 계산하는 접근법에 대한 제시 (joint recurrences 를 기반)

- entropy 를 측도로 이용하여 연구 (joint Rényi entropy)

• 양방향의 무질서한 시스템 동기화

• 전이(변하는 지점)을 찾기 위함

 

1. Introduction 

- 궤적 데이터의 행동을 시각화 하는 방법 → Recurrence plots (RP)

- 두개의 다른 동적 시스템 사이의 관계를 나타내기 위해 진화된 버전이 cross recurrence plot (CRP)

- non-stationary 하고, 짧은 주기의 시계열 데이터에도 적용 가능

- 위 논문에서는 다음과 같은 순으로 outlines

1. multivariate RPs 의 필요성과,  Rényi entropy 추정 소개

2. 잠재성 증명을 위해 동일하지 않은 다른 두개 데이터로 적용

3. 제안된 방법인 PS(phase synchronization) 탐지와 전체 시스템의 세부적 구조를 확인할 수 있음을 확인

 

2. Multivariate recurrence plots 

- 정보의 양(선형, 비선형 종속성)을 수량화할 수 있음 (auto, respectively, cross mutual information)

- 두개의 궤도 (x,y) 가 있다면, 이 두개의 동적 시스템을 확률 분포를 이용해 표현할 수 있음

- 이 두개를 동시에 나타내는 joint probability 분포를 만들 수 있음

여기서, H2 는 Rényi information 임

- H2를 아래 식(2) 와 같으며,식(2)를 이용하여 GMI를 다시 나타내면 식(3) 과 같음 

- 위 식(4) 는 time delay를 포함하여 GMI 를 다시 나타낸 것

- AMI (auto mutual information)은  아래 식(5) 와 같음

- H2는 결국, RP 매트릭스를 이용하여 나타낼수 있고, 추정된 joint Rényi information 는 식(8) 과 같음

- 위 로직을 다시 x,y 에 대한 RP 매트릭스를 이용하여 나타내면 식(9) 와 같음

- 식(9)에 time delay를 반영하면 식(10)과 같이 나타낼 수 있음

 

- joint recurrence matrix 는 식(11)과 같다

- 위에서 제안된 식(11) 과 같은 joint recurrence matrix를 Multivariate recurrence plot (MRP)로 제안함

 

3. Estimation of the joint Rényi entropy of second order 

- joint Rényi entropy 는 아래 식(12) 와 같이 나타낼 수 있음  

- 식(12)를 Joint Recurrence matrix를 통해 재 추정 가능한데, 이는 식(13)과 같음

- 위의 괄호안의 식은 MRP의 최소 대각 라인 길이를 의미

  > 이를 통해 대각 길이의 히스토그램을 만들 수 있음

- 대각 길이 l 을 가로, 세로축으로 분포의 기울기는 joint Rényi entropy 를 의미하게 됨

  > 이것이 MRPs의 분석적 큰 장점이라고 볼 수 있음

 

 

4. Detection of synchronization transition by means of joint recurrences 

- Phase synchronization을 이용

- u, v를 통해 tuning 가능

- fig.1 에서 mean frequencies 평균 차이를 통해 나타낸 것...

- joint entroy로 MRPs 구성

 

 

- Sum of the positive Lyapunov exponents of the two Rössler oscillators  로 MRPs 구성

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Conclusions 

- joint recurrence 를 기반으로 한 MRPs 는 쉽게 joint Rényi entropy of second order K2 를 추정할 수 있음

- 이 논문에서 제안하는 MRPs 방법은 총 3가지

• Difference |􏰀Ω| between the mean frequencies of the two Rössler oscillators

• Sum of the positive Lyapunov exponents of the two Rössler oscillators

• Joint Rényi entropy Kˆ2 of the two Rössler oscillators  

- 모두 비슷한 spectrum의 구조를 나타냄

 

 

 

참조: ROMANO, M. Carmen, et al. Multivariate recurrence plots. Physics letters A, 2004, 330.3-4: 214-223.